Ejemplo extremo: rombo asociado al mayor "primo de Mersenne" conocido

 

Tomemos el exponente de Mersenne

$$p=136279841,$$

y consideremos el módulo

$$n=2^p-1,$$

el mayor primo de Mersenne conocido en la actualidad.

Se construye el rombo:

$$V_a=4$$

$$V_d=2^p-1$$

$$V_c=4(n-3)=4(2^p-4)=16(2^{p-2}-1)$$

$$V_b=n(n-3)=(2^p-1)(2^p-4)=4(2^p-1)(2^{p-2}-1)$$

Se verifica:

$$V_a{V}_b=4\cdot 4(2^p-1)(2^{p-2}-1)=16(2^p-1)(2^{p-2}-1),$$

$$V_c{V}_d=16(2^{p-2}-1)(2^p-1)=16(2^p-1)(2^{p-2}-1),$$

por lo que:

$$V_a{V}_b=V_c{V}_d\mathrm{.}$$

El invariante:

$$\mathrm{\&}=V_a+V_b-(V_c+V_d)$$

toma la forma:

$$\mathrm{\&}=(n-4{)}^2=(2^p-5{)}^2,$$

un cuadrado perfecto gigantesco que sigue modulando el discriminante cúbico incluso en esta escala extrema.

Este ejemplo muestra que:

• la ley del rombo se mantiene desde el mínimo $n=4$ hasta módulos tan enormes como $2^p-1$,

• el filtro primo sigue aislando la carga del primo en una sola variable,

• y el invariante $\mathrm{\&}$ conserva su naturaleza de cuadrado perfecto.