El conjunto de los números naturales es una colección muy interesante, supongamos que contamos la cantidad de elementos que hay entre cuadrados consecutivos, les aseguro que siguen la forma general 2k, es decir; que la cantidad de elementos entre dos cuadrados consecutivos siempre es par.
Visualicemos la idea del párrafo anterior de la siguiente forma:
nº de naturales entre
cuadrados consecutivos
1 2 4
4 4 9
9 6 16
16 8 25
25 10 36
36 12 49
* * *
* * *
* * *
.
Señalemos ahora los naturales entre los primeros cuadrados consecutivos de esta forma: p(n) = 2n
figura 1
Observando la redistribución anterior podemos visualizar varias series conocidas; las cuales escribimos a continuación:
El hecho de que la cantidad de elementos entre números cuadrados consecutivos sigan un orden par se deduce que hay igual número de pares e impares. Por otro lado, se utilizará el método desarrollado en el artículo, "LA SERIE DE CUADRADOS EN EL TRIÁNGULO DE NATURALES IMPARES Y SU ÍNDICE" , el cual; nos permite enlazar cada número entre cuadrados consecutivos y su posición como se señala en la Figura 1, para ello llamaremos fi, cualquiera de los números, i = 1, 2, 3, ... , esto convierte la Figura 1, en la siguiente:
Al igual que en la Figura 1, se pueden visualizar las siguientes series en función de fi, en efecto:
Ahora tomaremos las columnas señaladas con los términos generales en cada una de las dos figuras anteriores arreglada en el siguiente cuadro:
Finalmente trabajando con todas las columnas obtenemos la siguiente serie de fórmulas:
Como podemos observar cada fórmula representa una columna de números "Para todo n perteneciente al conjunto N de los números naturales. En conclusión; sea F(n) cualquiera de la fórmulas de la serie, p(n): "La posición que ocupa en la Figura 2", t(n): "Cualquiera de los elementos en la Figura 1", el cual, representa el arreglo original.
Por tanto; de forma general se tiene:
Esta forma abstracta define la posición y el natural que se encuentra entre números cuadrados consecutivos.
