Filtro primo del Modelo Natural

 

Enunciado del filtro primo

Sea $n\ge 5$ un número primo y sea $(x,y,z)\in {\mathbb{N}}^3$ una terna que satisface

$$\frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\mathrm{.}$$

Entonces, en el contexto del modelo natural:

1. El primo $n$ divide al producto total de los denominadores:

$$n\mid xyz\mathrm{.}$$

2. El primo $n$ está impedido de dividir a la suma de sus productos dobles:

$$n\nmid (xy+yz+xz)\mathrm{.}$$

3. En consecuencia, $n$ queda algebraicamente aislado en una sola variable:

$$\mathrm{\exists }!z=nc,c\in \mathbb{N},\gcd (c,n)=1,n\nmid x,n\nmid y\mathrm{.}$$

3.2. Demostración

Partimos de

$$\frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\mathrm{.}$$

Multiplicando por $nxyz$:

$$4xyz=n(xy+yz+xz)\mathrm{.}$$

Del lado derecho se ve que $n$ divide $n(xy+yz+xz)$, luego $n$ divide también $4xyz$. Como $n$ es primo impar, $\gcd (n,4)=1$, por lo que necesariamente:

$$n\mid xyz\mathrm{.}$$

El modelo natural impone la condición estructural:

$$n\nmid (xy+yz+xz)\mathrm{.}$$

Si $n$ dividiera a dos variables, por ejemplo $x=na$, $y=nb$, entonces:

$$xy+yz+xz=n^{2}ab+nbz+naz=n(nab+bz+az),$$

lo que implicaría $n\mid (xy+yz+xz)$, contradiciendo la condición. Por tanto, $n$ solo puede dividir a una de las tres variables. Sin pérdida de generalidad:

$$z=nc,c\in \mathbb{N},\gcd (c,n)=1,$$

y $n\nmid x,n\nmid y$. Esto aísla la “carga” del primo en una sola variable, como predice el filtro analítico del modelo.