miércoles, 17 de enero de 2018

NÚMEROS PRIMOS Y LA DEMOSTRACIÓN INDIRECTA O REDUCCIÓN AL ABSURDO

  En una oportunidad leí en una Enciclopedia un título sobre los números primos que me atrapó la curiosidad al instante, este es: "Números primos: balance de nuestra ignorancia", escrita por Joaquín Navarro. Y, es verdad, los números primos adquieren en su conformación una naturaleza casi divina, criterio de algunos autores que he seguido de cerca, y la consecuencia de esto es por sus innumerables hechos de fácil expresión pero de difícil tratamiento. Señalo algunos a continuación:

    • Conjetura de Goldbach. "Todo número par mayor que dos se puede expresar como la suma de dos números primos".
    • Infinitud de primos gemelos. "Son números primos cuya diferencia es 2".
    • Cantidad de primos de la forma. Se pide demostrar su infinitud.  
  Pero, por otro lado, encontramos trabajos que por su extraordinaria belleza son dignos de admiración, como es el caso de la demostración de la infinidad de números primos realizado por Euclides y que es el tema central del artículo. En tal sentido escribiré sobre el método que utilizó Euclides y su demostración de la infinidad de números primos.

   En efecto, en primer lugar definiré la Regla de inferencia utilizada por Euclides para demostrar la infinidad números primos, es una regla o método indirecto que establece la factibilidad de derivar una contradicción de un conjunto de premisas y de la negación de la proposición que se quiere probar, entonces se puede derivar dicha proposición únicamente del conjunto de premisas. Este método tiene varios nombres, todos equivalentes, es decir; se conoce como "Regla de reducción al absurdo" o "Prueba por contradicción" o también como "Prueba indirecta".

   El  método o técnica de demostración lo describiremos a continuación de manera general:

    1. Se introduce como premisa adicional la negación de la conclusión deseada.
    2.  Partiendo de esta premisa, y del conjunto de premisas conocidas, se establece una contradicción.
    3. Se afirma la conclusión deseada como consecuencia lógica de las premisas. 

  Quiero agregar algo mas antes de escribir la demostración y es con respecto a las contradicciones, estas se dan cuando en una conjunción, una misma proposición es verdadera y falsa a la vez.

     Por ejemplo, si P es una proposición para probar con la técnica,  entonces se escribe:

                                                             P  ∧  ∼ P .

    Y, en segundo lugar, expongo la demostración de Euclides, quien afirma: "no hay un número primo máximo y que son, por tanto, infinito".
  • ... Supondremos de entrada que sólo hay un número finito de primos; en tal sentido llegaremos a una contradicción.
  • Escribamos todos los números primos  2, 3, 5, ..., 151, ... , P, donde P representa el mayor número primo.
  • Denotemos por N el resultado del producto de todos ellos, esto es, N=2x3x5x...x151x...xP.
  • Consideremos el número (N+1) y veamos si es divisible por 2(sin resto). Es claro que N es divisible por 2, pues es un factor de N. Por tanto, 2 no divide exactamente a (N+1), pues queda un resto de 1. También es claro que N es exactamente divisible por 3, pues este también es uno de sus factores. En consecuencia, 3 no divide exactamente a (N+1), pues también queda un resto de 1. Lo mismo vale para 5, 7, y todos los números primos hasta llegar a P, Todos ellos dividen exactamente a N y por tanto dejan un resto de 1 cuando el dividendo es (N+1).
  • ¿Qué significa esto? Como ningún número primo 2, 3, 5, ... , P divide exactamente a (N+1), o bien (N+1) es también primo, que será mayor que P, o bien es divisible por algún número primo mayor que P.
  • Como hemos supuesto que P era el mayor número primo llegamos a una contradicción: la existencia de un número primo mayor que el máximo número primo. Por tanto, la suposición de partida de que solo hay un número finito de primos ha de ser falsa. Fin de la demostración.
    Y, con esto termina el artículo de esta semana, dedicado a los fascinantes números primos.  

         

jueves, 11 de enero de 2018

SUMA DE LOS n PRIMEROS NÚMEROS NATURALES

     Hay una proposición que utilizo mucho en los diferentes artículos, propondré una demostración y como es de costumbre en mis artículos comenzaremos con una figura; ésta representa gráficamente a los números impares conjuntamente con una tabla para diferentes valores de k, en tal sentido observaremos el comportamiento tanto de los números impares como de los números cuadrados, estos últimos son sus sumas. En efecto; la figura a continuación:


     Podemos traducir esta idea con la siguiente igualdad:

,

en consecuencia

.
     De esta forma hemos demostrado que la suma de los primeros números naturales está dado por la última igualdad, está claro que esto se realizó con la ayuda de los números cuadrados y los números impares, ahora propongo que intenten la demostración tomando los números pares cuya forma ya conocemos todos (2k)


     

lunes, 8 de enero de 2018

SUMA DE LA SERIE DE NÚMEROS CÚBICOS

     Leopold Kronecker escribió en una oportunidad que "...el punto de partida de la matemática son los números naturales...", esto es cierto puesto que en la mayoría de los títulos que he desarrollado hay una premisa o mejor expresado, un axioma que no podemos pasar por alto, como lo es los números naturales y su suma. Estos son:

,
donde


     Por otro lado, con el estudio de la "Estructura plana de los números pares e impares", se utilizó un símbolo que permitió la simplificación del material de la exposición y una nueva forma de expresar la suma de los n primeros números naturales. Aparece en el apartado "3)" de la siguiente forma:


     Mas adelante en dicho estudio se demostraron las siguientes propiedades:


     Utilizaremos la primera " * " para llegar a la segunda " ** ". En efecto; ya se demostró que 


donde Vn representa la suma de los n primeros números naturales, es decir

  
     Así

     Luego en la última igualdad, cambiando n por n - 1 se tiene:

;
de manera semejante


      Sumando,  resulta:


de inmediato podemos concluir que la suma de los n primeros números cúbico está dada por:


     Finalmente se propone la demostración de la siguiente igualdad:

.

                                                          

ACERCA DE LA CONJETURA DE COLLATZ

     INTRODUCCIÓN

     Esta conjetura es un proceso, en el cual, al tomar cualquier número natural, este es sometido a varias operaciones, y de manera finita llegamos a 1. Las condiciones son las siguientes: Si el natural n es par(2k), este es dividido por 2 y si es impar(2k+1), se multiplica por 3 luego se le suma uno, con dicho resultado se repite el procedimiento hasta llegar a uno.
     Invito a los lectores a que aventuren a trabajar en la demostración de la conjetura, sólo deben probar que este proceso es finito y, que conduce a 1.
    Adelantaré algunos resultados comenzando con un diagrama general, un ejemplo particular, la prueba de que 3n+1 es par y, por último su relación con los números triangulares y los números cuadrados.

DIAGRAMA CONDUCTOR A 1


     A continuación propondré un esquema que contiene un procedimiento general para llegar a 1, para todo n perteneciente al conjunto de los números naturales. En efecto;


Ilustremos con un ejemplo particular, pero antes hemos llamado a fi como las diferentes operaciones a realizar, i = 1, 2, 3, ...:



      
     Seguidamente probaremos que 3n+1 siempre es un número par. En efecto; sea n=2k+1 z=3n+1, para todo n∊N. Sustituyendo la primera igualdad en la segunda y realizando las operaciones pertinentes, se obtiene:

domingo, 17 de diciembre de 2017

TRIÁNGULO DE NATURALES IMPARES

     El conjunto N de los números naturales tiene un subconjunto bastante interesante, este es el conjunto de los números impares, cuyo término general tiene la forma 2k+1, donde k es cualquier entero, sin embargo tomaremos solamente los positivos mayores o iguales a uno. En tal sentido obtenemos la siguiente serie que llamaremos SI:

                                                SI: 1, 3, 5, 7, 9, . . . , (2k+1).

      Seguidamente se utiliza una fórmula presentada en el artículo "Una fórmula para los números cúbicos" escrito en este Blogger, la cual permitirá ordenar la base del Triángulo de naturales impares(TNI), en efecto; esta tiene la siguiente forma:



donde, fk es cualquier natural impar , por tanto; fk C SI.

     Por consiguiente; 

permite para todo n, calcular cada natural cúbico y observar cada sumando de la base del Triángulo de naturales impares; en otras palabras se obtienen cada uno de los elementos de la serie cúbica
                   

y la suma de elementos impares que forman cada número cúbico.

     Ilustremos con un ejemplo lo afirmado en el párrafo anterior y luego la disposición final del Triángulo de naturales impares.