Ahora si, comencemos a redactar el motivo del presente artículo. En efecto; todos conocemos el conjunto N de los números naturales, en el existe un subconjunto propio representado por la siguiente sucesión de naturales:
lo llamaremos B , se trata del conjunto de todos los números cuadrados, es decir:
A continuación escribiremos algunas observaciones realizadas de la sucesión anterior:
- Varios pares de cuadrados consecutivos son: { 4٨2 , 5٨2 }, { 2٨2 , 3٨2 } y, utilizando la misma idea para generalizar, se tiene: { k٨2 , (k+1)٨2 }, para algún k en N. Si bi es la base de cualquier cuadrado, con i=1,2,3,..., entonces dos cuadrados consecutivos cualesquiera estará representado por el siguiente conjunto:
de lo contrario, un par de cuadrados cualesquiera estará dado por
donde k<j y j≠k+1.
.
.
- Si decidimos contar la cantidad de naturales entre cuadrados consecutivos, entonces este crece en forma 2n, es decir; a medida que aumenta n se hace mas grande la distancia entre los cuadrados y si n tiende hacia el infinito, me imagino al cuadrado de lado bk+1 en el infinito.
- Otra consecuencia de la idea anterior es que la cantidad de naturales pares e impares coinciden. Sea #(2k) la cantidad de números naturales pares y #(2k+1) de números impares, por tanto; #(2k) = #(2k+1).
- La diferencia de dos cuadrados consecutivos coincide con la forma general de los números impares. Geométricamente lo que se visualiza es un segmento cuyos extremos son dos cuadrados consecutivos. Por consiguiente, escribimos:
- Existen números naturales especiales entre
con k Є N , cuya forma general tiene la siguiente forma:
.
Geométricamente lo visualizaremos como el centro entre
.- Finalmente una consecuencia mas: Para los primeros n cuadrados consecutivos la suma de la cantidad de naturales esta dada por
n (n+ 1) ,
puesto que su crecimiento o cantidad de naturarales tiene la forma 2n.
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