UN PATRÓN DE LOS NATURALES MULTIPLOS DE 3 EN EL TNI

     Se trata de otra propiedad bastante interesante sobre este Triángulo, el cual; describo a continuación:        
        Dada la siguiente figura:

observemos los naturales que están encerrados en los diferentes círculos de colores, estos aparecen cada tres bases según la siguiente serie(Los colores de los números coinciden con los de los círculos):

3, 6, 9, 12, . . . ,

cada elemento significa la cantidad de naturales múltiplos de 3 cada tres bases consecutivas en TNI, es decir; para λ(2), λ( 3) y λ( 4) tenemos el siguiente conjunto de números múltiplos de tres(3), 

{3, 9, 15 }

lo llamaremos A, por tanto; su cardinal es tres, es decir: #A = 3, así para λ(5), λ( 6) y λ( 7), se tiene otro conjunto que llamaremos B, 

B = {21, 27, 33, 39, 45, 51}

por consiguiente #B = 6. De manera similar , para  λ(8), λ(9) y λ(10), donde 

C = {57, 63, 69, 75, 81, 87, 93, 99, 105 } 

cuya cantidad de elementos está dado por la siguiente igualdad: #C = 9. 

     Seguidamente vamos a generalizar esta idea con la siguiente suma:

de ella nos interesa el Término general que se cumple para todo n mayor o igual a 1, recordemos que λ(1)=1, invito aplicar El Principio de inducción matemático para probarlo. Esta suma representa la suma de tres cubos consecutivos, esto es:

,

lo interesante de esta igualdad es el sumando λ(3n), que coincide con la suma de todos los múltiplos de 3 para cualquier n. Desarrollemos los ejemplos anteriores para aclarar mas esta propiedad. En efecto; para n = 1 se tiene:

.

     Para n = 2, 

     Y, para n = 3,

     En conclusión; el cubo central es la suma de todos los múltiplos de 3, esto se tiene cuando se toman tres bases consecutivas en el TNI.