Se trata de la sucesión de naturales
1, 2, 6, 20, 70, ...,
la que llamaremos hTP y su término general hTP(n).
En efecto; primeramente, visualizaré el "TRIÁNGULO DE PASCAL" y buscaré algunas características en su relación con los "TRIÁNGULOS DE NATURALES PARES E IMPARES", ya estudiados en artículos recientemente publicados:
CARACTERÍSTICAS:
- Existe una simetría perfecta cuyo eje es hTP .
- Visualizamos algunas sucasiones conocidas, tales como:
- 1, 1, 1, 1, . . .
- 1, 2, 3, 4, . . . n
- 1, 3, 6, 10, . . . n(n+1) / 2.
3. Se observa que el término general de cada lateral es la suma de la sucesión anterior. Por ejemplo:
4. Si seguimos con la misma idea, se tiene:
por tanto, se trata de la sucesión:
1, 4, 10, 20, 35, . . . , n(n+1)(n+2) / 6,
así:
por consiguiente, se trata de la sucesión:
1, 6, 15, 35, 70, . . . , n(n+1)(n+2)(n+3) / 24 .
5. Continuemos con:
de donde se obtiene la sucesión:
1, 6, 21, 56, 126, . . . , n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) / 120 .
Ya con estas características se puede observar un patrón que describiré a continuación:
al observar los denominadores de la figura anterior nos percatamos de la sucesión:
1, 1, 2, 6, 24, 120, . . . ,
o escrito en su forma factorial
0!, 1!, 2!, 3!, 4!, 5!. . . . ,
cuyo término general es
(n - 1)!
Por otro lado, se puede construir y demostrar las siguientes igualdades con números combinatorios:
ahora bien, sustituyendo n por n+1 en la igualdad anterior obtenemos:
luego, el producto:
y, así, formar el patrón que nos da la fórmula o término general para la "ALTURA EN EL TRIÁNGULO DE PASCAL", la cual está dada por:
cuya sucesión está conformada por los naturales:
1, 2, 6, 20, 70, ...
FIN
No hay comentarios:
Publicar un comentario