SUMA DE LA SERIE NATURAL CON EXPONENTE r = 5

    Se trata de la serie 

   Llamaremos a la suma S5, donde r = 5 es el exponente de cada potencia, que de forma general hemos llamado "Sr, r es el exponente de cada potencia de la serie", es decir: 

    Demostremos que

    En efecto, evaluemos

,

donde;

en consecuencia

la cual, permite obtener una secuencia dada por

donde, 

    Sustituyendo S5 en esta última igualdad y despejando con las operaciones conocidas, además de cambiar las sumas restantes por fórmulas anteriores se tiene que:

     Luego, se tiene lo que se quería demostrar, es decir;

TRES DESARROLLOS DISTINTOS CON EL MISMO RESULTADO

DESARROLLO NRO. 1

     En este apartado trabajaremos un poco con números cuadrados consecutivos. Llamaremos a cualquiera con el símbolo Cn, donde n es la base del cuadrado. Por ejemplo;  

     En tal sentido, evaluemos la siguiente expresión la que llamaremos Dn de forma general:

DESARROLLO NRO. 2

     En efecto: sea

   

     Esta función representa a los números impares como todos sabemos. Por otro lado, tenemos la suma de los n primeros números naturales expresada con la siguiente igualdad:

de la cual; llamaremos:

por lo que ahora podemos realizar la siguiente composición de funciones; 

Este resultado coincide con el anterior, por consiguiente, tenemos hasta ahora que:

DESARROLLO NRO. 3

     

     Finalmente con el tercer desarrollo, que no es mas que una representación de los números pares. Observemos la siguiente figura:

     Demostremos que efectivamente que 

.

     En efecto; los números pares están dados por:  2, 4, 6, 8, . . . , 2n, por tanto, la suma de los n primeros números pares lo calculamos de la siguiente manera:

 pero

luego; sustituyendo (2) en (1) y llamando T(n)  -  1, se tiene: