CANTIDAD DE NATURALES ESTRE CUBOS CONSECUTIVOS Y SU TÉRMINO GENERAL

     Ya en una entrega anterior deducimos que la cantidad de números naturales esntre cuadrados consecutivos está dado por 2n. Es hora que nos preguntemos; ¿Qué forma tiene la cantidad de naturales entre cubos consecutivos?, antes daremos la siguiente definición: " Sea X una variable y #X la cantidad de naturales entre cubos consecutivos." 

     En efecto, se trata de la sucesión

                                                   1³, 2³, 3³, 4³, 5³, . . .

y, lo que queremos es calcular de forma general los diferentes valores que toma  X y contarlos entre  n³  y  (n+1)³, además del valor general de su suma.

     Así:

n³ < X < (n+1)³

     Si  n = 1, se tieene la siguiente inecuación,  1 <  X  <  8, cuyo conjunto solución es 

{2, 3, 4, 5, 6, 7},

el cual, llamaremos A1 , donde #X = 6. Utilizaremos la siguiente fórmula para obtener el número de elemento del conjunto, #X = an  -  a1  +  1, como se trata de un conjunto ordenado an es el último elemento y a1 es el primer elemento, asi para el caso del conjunto A1, an = 7 y a1 = 2. 

     Recordemos que sólo nos interesa son los valores de X o soluciones naturales de la inecuación para los diferentes valores que tomará n. 

     Ahora, si  n  =  2, obtenemos la siguiente inecuación  8  <  X  <  27, por tanto el conjunto solución es 

A2 = {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, . . . , 25, 26}, 

donde, #A2  =  26 - 9  +  1  =  18, el cual escribiremos  #A2  =  3  *  6.

     Seguidamente para n  =  3 se tiene la inecuación  27  <  X  <  64  y su conjunto solución es  

A3  = {28, 29, 39, .  .  .  , 62, 63}, 

donde  #A3  =  63 - 28  +  1 = 36 = 6 * 6.

     Hagamos para  n  =  4, y luego generalicemos para ir visualizando la forma que tiene el término general An. Por consiguiente, se tiene la inecuación  64  <  X  <  125 cuyas soluciones están dadas en el conjunto

A4 = {65, 66, 67,  .  .  .  , 124},

donde #A4  = 60, el cual podemos expresar asi:  A4  =  10 * 6, por tanto; ya realizado un análisis con estos resultados, vemos que se trata de patrones conocidos, si lo ordenamos como sigue:

#A1  =  1  *  6

#A2  =  3  *  6

#A3  =  6  *  6

#A4  =  10 * 6 

             *  *  *  *        

     *  *  *  *

          *  *  *  *     

#An  = [n(n+1)÷2]*6.

     Esta última igualdad nos señala la relación entre #An y la cantidad de naturales entre cubos consecutivos, la cual se puede expresar como sigue:

#An = 3n(n+1),

con otras palabras, si contamos los naturales entre cubos consecutivos el resultado es un natural multiplo de 3.

     Acontinuación probaremos que:

     En efecto;

        Por consiguiete;

  

.