Voy a tomar cada número par y lo dispondré en la misma posición que tienen los números impares en el TNI y TP y, lo llamaré "TNP" (Triángulo de Naturales Pares).
La disposición la señalo a continuación en la figura 1:
Figura 1
- Llamaremos "Lip" a la sucesión que se posiciona en el lado izquierdo de la Figura 1 y contiene a los naturales:
Lip: 2, 4, 8, 14, 22, 32, . . .
2. Llamaremos "Ldp" al Lateral derecho, el cual, representa a la sucesión:
Ldp: 2, 6, 12, 20, 30, 42, . . .
3. Se define el símbolo "hp" como la Altura, esta representa la siguiente sucesión:
hp: 2, 10, 26, 50, . . .
4. Llamaremos " bp " a la suma de los naturales que pertenecen a cada línea. Por ejemplo, la línea 1 tiene un sólo elemento, este es el número 2. La segunda tiene dos elementos, estos son el 4 y el 6, donde su suma es 10 y así sucesivamente.
5. Relación entre TNI y TNP.
5.1 Lip(n) = Lii(n) + 1
5.2 Ldp(n) = Ldi(n) + 1
5.3 bp(n) = bi(n) + n
5.4 hp(n) = hi(n) + 1
donde;
y, 
,
,
.
6. De 5.2) se tiene que:
,por tanto;
al multiplicar y partir po 2 la última igualdad, así obtenemos:
puesto que
,igualdad que es conocida por todos. Lo que se traduce de este resultado es: si partimos cada elemento de la sucesión: 2, 6, 12, 20, 30, 42, . . . , por 2, se obtiene la suma de los n primeros términos de los números naturales.
7. La base par viene dada por
por lo tanto,
. Este resultado se interpreta como sigue: "Al tener el TNP como modelo, entonces "El cuadrado de todo número natural más uno" se transforma en un promedio, puesto que n indica la cantidad de elementos que tiene la base, y recordemos que por definición de "bp(n)" es la suma de números pares consecutivos en cada línea del TNP, esto es "bp(n) / n".
-FIN-
