ACERCA DE LA CONJETURA DE COLLATZ

     INTRODUCCIÓN

     Esta conjetura es un proceso, en el cual, al tomar cualquier número natural, este es sometido a varias operaciones, y de manera finita llegamos a 1. Las condiciones son las siguientes: Si el natural n es par(2k), este es dividido por 2 y si es impar(2k+1), se multiplica por 3 luego se le suma uno, con dicho resultado se repite el procedimiento hasta llegar a uno.

     Invito a los lectores a que aventuren a trabajar en la demostración de la conjetura, sólo deben probar que este proceso es finito y, que conduce a 1.

    Adelantaré algunos resultados comenzando con un diagrama general, un ejemplo particular, la prueba de que 3n+1 es par y, por último su relación con los números triangulares y los números cuadrados.

DIAGRAMA CONDUCTOR A 1

     A continuación propondré un esquema que contiene un procedimiento general para llegar a 1, para todo n perteneciente al conjunto de los números naturales. En efecto;

Ilustremos con un ejemplo particular, pero antes hemos llamado a fi como las diferentes operaciones a realizar, i = 1, 2, 3, ...:

      
     Seguidamente probaremos que 3n+1 siempre es un número par. En efecto; sea n=2k+1 y z=3n+1, para todo n∊N. Sustituyendo la primera igualdad en la segunda y realizando las operaciones pertinentes, se obtiene:

 z = 3(2k+1) +1

= 6k + 4      

= 2(3k+2).

      Sea t = 3k+2, luego se concluye que

                                                                    z = 2t 

por tanto; z es siempre par.

     Finalmente con el siguiente procedimiento obtendremos un producto que tiene la forma de los dos elementos que se observan en "La conjetura de Collazt". En efecto; llamaremos 𝛒(Rho) a dicho producto, este es

𝛒(n)=(n/2).(3n+1).

     La expreso de esta forma puesto que no distingue para números pares e impares. Es decir, en el proceso de probar este producto, lo haremos para todo n∊N.

     Partiremos de dos series con un estilo geométrico, puesto que; como sus nombres lo dicen, son las series triangular y cuadrada respectivamente. Así

     De la figura anterior se observa:

   

               *  Serie triangular:   1, 3, 6, .  .  . , n(n+1) / 2
                                                                                  

                                                                              2

               * Serie cuadrada:      1, 4, 9, .  .  . , n

por tanto; al sumar los términos generales, entonces se tiene lo siguiente:

     Ahora para concluir este aporte, quiero señalar que dicho producto forma parte de un estudio que se realiza con el fin de evidenciar la certeza o falsedad de la conjetura en cuestión.