SERIE DE FÓRMULAS SOBRE CUADRADOS CONSECUTIVOS

     El conjunto de los números naturales es una colección muy interesante, supongamos que contamos la cantidad de elementos que hay entre cuadrados consecutivos, les aseguro que siguen la forma general 2k, es decir; que la cantidad de elementos entre dos cuadrados consecutivos siempre es par.

     Visualicemos la idea del párrafo anterior de la siguiente forma:  

nº de naturales entre

cuadrados consecutivos

                                     1               2                 4

                                     4               4                 9

                                     9               6               16

                                   16               8               25

                                   25             10               36

                                   36             12               49

                                    *               *                 *

                                    *               *                 *

                                    *               *                 *

.

     Señalemos ahora los naturales entre los primeros cuadrados consecutivos de esta forma: p(n) = 2n 

 

figura 1

     Observando la redistribución anterior podemos visualizar varias series conocidas; las cuales escribimos a continuación:

     El hecho de que la cantidad de elementos entre números cuadrados consecutivos sigan un orden par se deduce que hay igual número de pares e impares. Por otro lado, se utilizará el método desarrollado en el artículo, "LA SERIE DE CUADRADOS EN EL TRIÁNGULO DE NATURALES IMPARES Y SU ÍNDICE" , el cual; nos permite enlazar cada número entre cuadrados consecutivos y su posición como se señala en la Figura 1, para ello llamaremos fi, cualquiera de los números, i = 1, 2, 3, ... , esto convierte la Figura 1, en la siguiente:

     Al igual que en la Figura 1, se pueden visualizar las siguientes series en función de fi, en efecto:

     Ahora tomaremos las columnas señaladas con los términos generales en cada una de las dos figuras anteriores arreglada en el siguiente cuadro:

     Finalmente trabajando con todas las columnas obtenemos la siguiente serie de fórmulas:

     Como podemos observar cada fórmula representa una columna de números "Para todo n perteneciente al conjunto N de los números naturales. En conclusión; sea F(n) cualquiera de la fórmulas de la serie, p(n): "La posición que ocupa en la Figura 2", t(n): "Cualquiera de los elementos en la Figura 1", el cual, representa el arreglo original.

     Por tanto; de forma general se tiene:

     Esta forma abstracta define la posición y el natural que se encuentra entre números cuadrados consecutivos.

SUMA DE LA SERIE NATURAL CON EXPONENTE r = 5

    Se trata de la serie 

   Llamaremos a la suma S5, donde r = 5 es el exponente de cada potencia, que de forma general hemos llamado "Sr, r es el exponente de cada potencia de la serie", es decir: 

    Demostremos que

    En efecto, evaluemos

,

donde;

en consecuencia

la cual, permite obtener una secuencia dada por

donde, 

    Sustituyendo S5 en esta última igualdad y despejando con las operaciones conocidas, además de cambiar las sumas restantes por fórmulas anteriores se tiene que:

     Luego, se tiene lo que se quería demostrar, es decir;

TRES DESARROLLOS DISTINTOS CON EL MISMO RESULTADO

DESARROLLO NRO. 1

     En este apartado trabajaremos un poco con números cuadrados consecutivos. Llamaremos a cualquiera con el símbolo Cn, donde n es la base del cuadrado. Por ejemplo;  

     En tal sentido, evaluemos la siguiente expresión la que llamaremos Dn de forma general:

DESARROLLO NRO. 2

     En efecto: sea

   

     Esta función representa a los números impares como todos sabemos. Por otro lado, tenemos la suma de los n primeros números naturales expresada con la siguiente igualdad:

de la cual; llamaremos:

por lo que ahora podemos realizar la siguiente composición de funciones; 

Este resultado coincide con el anterior, por consiguiente, tenemos hasta ahora que:

DESARROLLO NRO. 3

     

     Finalmente con el tercer desarrollo, que no es mas que una representación de los números pares. Observemos la siguiente figura:

     Demostremos que efectivamente que 

.

     En efecto; los números pares están dados por:  2, 4, 6, 8, . . . , 2n, por tanto, la suma de los n primeros números pares lo calculamos de la siguiente manera:

 pero

luego; sustituyendo (2) en (1) y llamando T(n)  -  1, se tiene:

      

BIOGRAFÍAS BREVES

Leopold Kronecker 
(n. en Liegnitz actual Legnica en Polonia, 7 de diciembre de 1823 - † Berlín, Alemania,29 de diciembre de 1891).
En 1845 se doctoró en la Universidad de Berlín y en ese año escribió su disertación sobre teoría de números, dando una formulación especial a las unidades en ciertos campos numéricos algebraicos.
Matemático y lógico, Kronecker defendía que la aritmética y el análisis deben estar fundados en los números enteros prescindiendo de los irracionales e imaginarios. Fue autor de una frase muy conocida entre los matemáticos: "Dios hizo los números enteros; el resto es obra del hombre" (Bell 1986, p.477). 

Delta de Kronecker es una función de dos variables, que vale 1 si son iguales, y 0 si son diferentes. Se escribe con el símbolo ${\displaystyle \delta _{ij}\,\!}$ y se usa como una taquigrafía notacional más que como la función definida a trozos:

${\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{si }}i=j\\0&{\mbox{si }}i\neq j\end{matrix}}\right.}$

PROFESOR JULIO ALBERTO PACHECO GERDEL

CHRISTIAN GOLDBACH

LEONHARD PAUL EULER

Charles Sanders Peirce 
(1839/09/10 - 1914/04/19)

Charles Sanders Peirce 

Filósofo y físico estadounidense 

Nació el 10 de septiembre de 1839 en Cambridge (Massachusetts). Hijo de Sarah y Benjamin Peirce, profesor de astronomía y matemáticas en Universidad Harvard.
Cursó estudios en la Universidad de Harvard. Entre 1864 y 1884 dio clases de lógica y filosofía en las universidades Johns Hopkins y Harvard, y en 1877 fue el primer delegado estadounidense en el Congreso Internacional Geodésico.
En 1861, realizó experimentos con péndulos que contribuyeron a la determinación de la densidad y forma de la Tierra, y también a desarrollar investigaciones sobre la dimensión de las ondas de luz. En 1867 se interesó por el sistema de lógica creado por el matemático británico George Boole, y trabajó hasta 1885 sobre la ampliación y transformación del álgebra de Boole.

LOTHAR COLLATZ

Lothar Collatz fue un matemático alemán. En 1937 propuso la conjetura de Collatz, la cual permanece sin ser resuelta. La fórmula Collatz-Wielandt para matrices positivas en el teorema de Perron-Frobenius es nombrada en su honor. Tomado de Wikipedia.

Fecha de nacimiento: 6 de julio de 1910,Arnsberg, Alemania

Fallecimiento: 26 de septiembre de 1990, Varna, Bulgaria

Campo: Matemáticas

Asesor académico: Erhard Schmidt

Alumno destacado: Frank Natterer

UN PATRÓN DE LOS NATURALES MULTIPLOS DE 3 EN EL TNI

     Se trata de otra propiedad bastante interesante sobre este Triángulo, el cual; describo a continuación:        
        Dada la siguiente figura:

observemos los naturales que están encerrados en los diferentes círculos de colores, estos aparecen cada tres bases según la siguiente serie(Los colores de los números coinciden con los de los círculos):

3, 6, 9, 12, . . . ,

cada elemento significa la cantidad de naturales múltiplos de 3 cada tres bases consecutivas en TNI, es decir; para λ(2), λ( 3) y λ( 4) tenemos el siguiente conjunto de números múltiplos de tres(3), 

{3, 9, 15 }

lo llamaremos A, por tanto; su cardinal es tres, es decir: #A = 3, así para λ(5), λ( 6) y λ( 7), se tiene otro conjunto que llamaremos B, 

B = {21, 27, 33, 39, 45, 51}

por consiguiente #B = 6. De manera similar , para  λ(8), λ(9) y λ(10), donde 

C = {57, 63, 69, 75, 81, 87, 93, 99, 105 } 

cuya cantidad de elementos está dado por la siguiente igualdad: #C = 9. 

     Seguidamente vamos a generalizar esta idea con la siguiente suma:

de ella nos interesa el Término general que se cumple para todo n mayor o igual a 1, recordemos que λ(1)=1, invito aplicar El Principio de inducción matemático para probarlo. Esta suma representa la suma de tres cubos consecutivos, esto es:

,

lo interesante de esta igualdad es el sumando λ(3n), que coincide con la suma de todos los múltiplos de 3 para cualquier n. Desarrollemos los ejemplos anteriores para aclarar mas esta propiedad. En efecto; para n = 1 se tiene:

.

     Para n = 2, 

     Y, para n = 3,

     En conclusión; el cubo central es la suma de todos los múltiplos de 3, esto se tiene cuando se toman tres bases consecutivas en el TNI.