ARMONÍA PAR O IMPAR

     Uno de los resultados que me llamó la atención en cierta oportunidad fue cuando observaba la construcción de la siguiente figura:

en ella se visualizan los números pares y los números impares arreglado de una forma particular, donde cada rectángulo compuestos por cuadrados se corresponde armoniosamente con un número par o impar, es decir, si la armonía la representamos con la letra A, entonces existe una relación entre cada rectángulo y un número natural par o impar. Así

ó

Pero, lo que quiero señalar es lo siguiente: llamaremos "p" a cualquier número par de la figura y evaluemos sobre p lo siguiente:

lo ilustraremos con la Tabla 1.

Por otro lado, ya hemos estudiados la igualdad o serie representada por

es decir;

Por tanto, siendo n impar su suma es un cuadrado, así la columna representada por la (p/2) en la Tabla 1 coincide con la columna ( ∑ ) de la Tabla 2.

Finalmente concluimos: "Si p es un número par, entonces (p/2) con exponente 2 es igual a la suma de los n primeros números impares."

A continuación ilustramos este resultado con un ejemplo. Sea p = 22, luego [(22/2)]^2 = 121, por consiguiente:

                           21 + 19 + 17 + 15 + 13 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1
                   
                      =  (21 + 1) + (19 + 3) + (17 + 5) + (15 + 7) + (13 + 9) + 11

                      = 5*22 + 11 

                      = 121


NOTA
"En otra oportunidad escribiré en una propuesta que tal  relación entre pares e impares está muy ligado a la Conjetura fuerte de Goldbach"

IMPARES Y LA CONJETURA DE COLLATZ

            El término general para cualquier natural impar está dado por 2k-1, en tal sentido, se repite el proceso en la  Conjetura de Lothar Collatz sólo con los números impares en forma general. 

              En efecto; 

3(2k-1) + 1

=  6k-3+1          

 =  6k-2.               

              Por tanto; 

,

por consiguiente, en el proceso este resultado representa a la serie o subconjunto de N:

.

             Seguidamente, separamos los números impares de (1) de la siguiente forma:

;

repitiendo el proceso con 6k-1, se tiene:

          Al igual que la serie anterior separamos los números impares, así se tiene:

          Finalmente se concluye que: 

1. En (1) se observa una característica con los dígitos que representan a los diferentes números, seguidamente se describen en la siguiente tabla:

donde; la suma de los dígitos a partir de la segunda fila siempre es la primera fila, es decir:

2        5         8 . 

     

       2.  En la serie  8, 17, 26, 35, 44, 53, . . . , 9k-1; la suma de los dígitos componentes de los números es igual a 8. Por ejemplo, para k = 100, obtenemos el número impar 899 cuya suma de los dígitos es 26, pero 2 + 6 es 8, el cual pertenece a la primera fila.

      3. Generalización del proceso: se toman los términos generales de los diferentes números impares, así se tiene 

 el cual, representa los términos generales cuando aplicamos el desarrollo impar en la Conjetura de Collatz, posteriormente al aplicar el desarrollo par se obtiene

como (2) puede ser par o impar se separan los impares y se tiene:

SERIE DE FÓRMULAS SOBRE CUADRADOS CONSECUTIVOS

     El conjunto de los números naturales es una colección muy interesante, supongamos que contamos la cantidad de elementos que hay entre cuadrados consecutivos, les aseguro que siguen la forma general 2k, es decir; que la cantidad de elementos entre dos cuadrados consecutivos siempre es par.

     Visualicemos la idea del párrafo anterior de la siguiente forma:  

nº de naturales entre

cuadrados consecutivos

                                     1               2                 4

                                     4               4                 9

                                     9               6               16

                                   16               8               25

                                   25             10               36

                                   36             12               49

                                    *               *                 *

                                    *               *                 *

                                    *               *                 *

.

     Señalemos ahora los naturales entre los primeros cuadrados consecutivos de esta forma: p(n) = 2n 

 

figura 1

     Observando la redistribución anterior podemos visualizar varias series conocidas; las cuales escribimos a continuación:

     El hecho de que la cantidad de elementos entre números cuadrados consecutivos sigan un orden par se deduce que hay igual número de pares e impares. Por otro lado, se utilizará el método desarrollado en el artículo, "LA SERIE DE CUADRADOS EN EL TRIÁNGULO DE NATURALES IMPARES Y SU ÍNDICE" , el cual; nos permite enlazar cada número entre cuadrados consecutivos y su posición como se señala en la Figura 1, para ello llamaremos fi, cualquiera de los números, i = 1, 2, 3, ... , esto convierte la Figura 1, en la siguiente:

     Al igual que en la Figura 1, se pueden visualizar las siguientes series en función de fi, en efecto:

     Ahora tomaremos las columnas señaladas con los términos generales en cada una de las dos figuras anteriores arreglada en el siguiente cuadro:

     Finalmente trabajando con todas las columnas obtenemos la siguiente serie de fórmulas:

     Como podemos observar cada fórmula representa una columna de números "Para todo n perteneciente al conjunto N de los números naturales. En conclusión; sea F(n) cualquiera de la fórmulas de la serie, p(n): "La posición que ocupa en la Figura 2", t(n): "Cualquiera de los elementos en la Figura 1", el cual, representa el arreglo original.

     Por tanto; de forma general se tiene:

     Esta forma abstracta define la posición y el natural que se encuentra entre números cuadrados consecutivos.

SUMA DE LA SERIE NATURAL CON EXPONENTE r = 5

    Se trata de la serie 

   Llamaremos a la suma S5, donde r = 5 es el exponente de cada potencia, que de forma general hemos llamado "Sr, r es el exponente de cada potencia de la serie", es decir: 

    Demostremos que

    En efecto, evaluemos

,

donde;

en consecuencia

la cual, permite obtener una secuencia dada por

donde, 

    Sustituyendo S5 en esta última igualdad y despejando con las operaciones conocidas, además de cambiar las sumas restantes por fórmulas anteriores se tiene que:

     Luego, se tiene lo que se quería demostrar, es decir;

TRES DESARROLLOS DISTINTOS CON EL MISMO RESULTADO

DESARROLLO NRO. 1

     En este apartado trabajaremos un poco con números cuadrados consecutivos. Llamaremos a cualquiera con el símbolo Cn, donde n es la base del cuadrado. Por ejemplo;  

     En tal sentido, evaluemos la siguiente expresión la que llamaremos Dn de forma general:

DESARROLLO NRO. 2

     En efecto: sea

   

     Esta función representa a los números impares como todos sabemos. Por otro lado, tenemos la suma de los n primeros números naturales expresada con la siguiente igualdad:

de la cual; llamaremos:

por lo que ahora podemos realizar la siguiente composición de funciones; 

Este resultado coincide con el anterior, por consiguiente, tenemos hasta ahora que:

DESARROLLO NRO. 3

     

     Finalmente con el tercer desarrollo, que no es mas que una representación de los números pares. Observemos la siguiente figura:

     Demostremos que efectivamente que 

.

     En efecto; los números pares están dados por:  2, 4, 6, 8, . . . , 2n, por tanto, la suma de los n primeros números pares lo calculamos de la siguiente manera:

 pero

luego; sustituyendo (2) en (1) y llamando T(n)  -  1, se tiene: