DISTRIBUCIÓN DE NÚMEROS PARES: "TNP"

           Voy a tomar cada número par y lo dispondré en la misma posición que tienen los números impares en el TNI y TP y, lo llamaré "TNP" (Triángulo de Naturales Pares).

                La disposición la señalo a continuación en la figura 1:

 Figura 1

           Seguidamente enumero algunos conceptos y características importantes en esta distribución (TNP):

1.            Llamaremos "Lip" a la sucesión que se posiciona en el lado izquierdo de la Figura 1 y contiene a los naturales:

                                          Lip:     2, 4, 8, 14, 22, 32,   .  .  .

     2.            Llamaremos "Ldp" al Lateral derecho, el cual, representa a la sucesión:

                                          Ldp:   2, 6, 12, 20, 30, 42,  .  .  .

     3.             Se define el símbolo  "hp" como la Altura, esta representa la siguiente sucesión:

                                          hp:      2, 10, 26, 50, . . .

  

     4.             Llamaremos " bp " a la suma de los naturales que pertenecen a cada línea. Por ejemplo, la línea 1 tiene un sólo elemento, este es el número 2. La segunda tiene dos elementos, estos son el 4 y el 6, donde su suma es 10 y así sucesivamente.

     5.             Relación entre TNI y TNP.

              5.1     Lip(n) = Lii(n) + 1

              5.2     Ldp(n) = Ldi(n) + 1

              5.3     bp(n) = bi(n) + n

              5.4     hp(n) = hi(n) + 1

donde;

y, 

       6.           De  5.2)  se tiene que:

 ,

por tanto;

 

al multiplicar y partir po 2 la última igualdad, así obtenemos:

 

puesto que 

,

igualdad que es conocida por todos. Lo que se traduce de este resultado es: si partimos cada elemento de la sucesión: 2, 6, 12, 20, 30, 42,  . . .  ,  por 2, se obtiene la suma de los n primeros términos de los números naturales.

            7.           La base par viene dada por

por lo tanto,

.

                             Este resultado se interpreta como sigue: "Al tener el TNP como modelo, entonces "El cuadrado de todo número natural más uno" se transforma en un promedio, puesto que n indica la cantidad de elementos que tiene la base, y recordemos que por definición de "bp(n)" es la suma de números pares consecutivos en cada línea del TNP, esto es "bp(n) / n". 

                                                                -FIN-                                                               

ALTURA EN EL TRIÁNGULO DE PASCAL

                  Se trata de la sucesión de naturales 

                                      1, 2, 6, 20, 70, ...,

 la que llamaremos hTP y su término general hTP(n).

          En efecto; primeramente, visualizaré el "TRIÁNGULO DE PASCAL" y buscaré algunas características en su relación con los "TRIÁNGULOS DE NATURALES PARES E IMPARES", ya estudiados en artículos recientemente publicados:

          CARACTERÍSTICAS: 

1. Existe una simetría perfecta cuyo eje es hTP .
2. Visualizamos algunas sucasiones conocidas, tales como:

• 1, 1, 1, 1, . . .
• 1, 2, 3, 4, . . . n
• 1, 3, 6, 10, . . . n(n+1) / 2.                     

           3. Se observa que el término general de cada lateral es la suma de la sucesión anterior. Por ejemplo: 

                 4. Si seguimos con la misma idea, se tiene:

  

por tanto, se trata de la sucesión:

                                           1, 4, 10, 20, 35, . . . , n(n+1)(n+2) / 6, 

así:

por consiguiente, se trata de la sucesión:

                                           1, 6, 15, 35, 70, . . . , n(n+1)(n+2)(n+3) / 24 .

                   5. Continuemos con:

de donde se obtiene la sucesión:

                                          1, 6, 21, 56, 126, . . . , n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) / 120 .

          Ya con estas características se puede observar un patrón que describiré a continuación:

al observar los denominadores de la figura anterior nos percatamos de la sucesión:

                                                           1, 1, 2, 6, 24, 120, . . . ,

 o escrito en su forma factorial 

                                                           0!, 1!, 2!, 3!, 4!, 5!. . . . , 

cuyo término general es

                                                                    (n - 1)!

          Por otro lado, se puede construir y demostrar las siguientes igualdades con números combinatorios:

                                                                       

ahora bien, sustituyendo n por n+1 en la igualdad anterior obtenemos:

luego, el producto:

y, así, formar el patrón que nos da la fórmula o término general para la "ALTURA EN EL TRIÁNGULO DE PASCAL", la cual está dada por:

cuya sucesión está conformada por los naturales:

1, 2, 6, 20, 70, ...

FIN

SALTO ENÉSIMO EN PRODUCTOS DE POTENCIAS PARES E IMPARES

           Supongamos que tenemos la siguiente sucesión de potencias:

                                                                          

por un lado, el producto enésimo de dichas potencias está dado por: 

                                                             

la cual, establece la relación de los operadores del producto y la suma. Por otro lado, se observa en la GRÁFICA 1 y a través de los operadores una forma de llegar un poco mas allá de la potencia enésima; en efecto, supongamos que se agrega al producto enésimo un factor mas, en tal sentido se tiene la siguiente igualdad:

          Por consiguiente, se establecen las implicaciones:

   

GRÁFICA 1

   

           Ahora bien, si colocamos otro factor, luego de 2^(n+1), se observa la siguiente igualdad:

                Si continuamos con otro factor, se tendrá:

               Finalmente con este método el procedimiento nos conduce a los límites del operador pi y por ende a la fórmula general:

pero, si el exponente de la potencia es un número par (2k), se obtiene la igualdad:

y, si es impar (2k-1), el producto se transforma en:

Fin                 

RELACIÓN DE LOS OPERADORES PI Y SIGMA EN UNA SUCESIÓN DE POTENCIAS

           Dado el siguiente conjunto de potencias:

el cual, llamaremos A. Dicho conjunto se puede expresar de varias formas, las enumero a continuación:

          

          1.- {an}, el símbolo expresa una sucesión cuyo término general es 

          2.- Por extensión se determina colocando sus elementos entre lleves, esto se indicó en la parte inicial.

            3.- Se determina también indicando una propiedad que cumplen todos sus elementos, esto es 

 

 

en fin este tipo de expresión de conjuntos se llama por "Comprensión".

          4.- Existen formas gráficas que no mencionaremos, puesto que no es el objetivo de este artículo.

     

          A continuación formaré el producto de la enésima potencia y demostraré a través de algunas propiedades conocidas que se cumple la siguiente igualdad:

          Recordemos que debemos partir de un lado de la igualdad hasta llegar al otro lado utilizando técnicas de sustitución, esto lo haré con un discurso escrito. En tal sentido, partiendo del lado izquierdo de la igualdad, el mandato del operador  

me informa que debo colocar cada elemento de A en un producto, es decir;

luego, aplicando una de las propiedades de la potenciación, se tiene:

además, la suma enésima de los números naturales es igual a  n(n+1)/2, por tanto; 

esta última igualdad le podemos realizar las siguientes transformaciones:

    

.   Fin.

FÓRMULA GENERADORA DE PARES DE NÚMEROS PRIMOS

 INTRODUCCIÓN

     El presente escrito es sólo una descripción de una igualdad que genera pares de primos de la forma 2k^2 con k natural; es de notar, que a medida que aumentamos el valor de  n  se tienen números pares expresados como suma de dos números primos, me atrevo a asegurar que son infinitos, pero no son todos, mas adelante en otro artículo publicaré su demostración. Sólo haré un análisis de los elementos mas importantes, además del desarrollo de varios ejemplos particulares.

DESARROLLO 

         Se trata de la siguiente igualdad:

donde f es una forma funcional que establece una relación entre su sub-índice y los números impares, es decir; para todo n en el conjunto de los números naturales se tiene

 

          Con respecto al símbolo j, esta es una constante que permite establecer la igualdad entre los diferentes pares de naturales impares. Por ejemplo, sean a, b, c y d números impares:

      Si se cumple que a+b  =  c+d y todos diferentes, entonces    

     A continuación se desarrollan algunos ejemplos para visualizar la fórmula y así entenderla en su totalidad. En efecto:

EJEMPLO (1)

EJEMPLO (2)