NÚMEROS PRIMOS Y LA DEMOSTRACIÓN INDIRECTA O REDUCCIÓN AL ABSURDO

  Leí en una Enciclopedia un título sobre los números primos que me atrapó la curiosidad al instante, este es: "Números primos: balance de nuestra ignorancia", escrita por Joaquín Navarro. Y, es verdad, los números primos adquieren en su conformación una naturaleza casi divina, criterio de algunos autores que he seguido de cerca, y la consecuencia de esto es por sus innumerables hechos de fácil expresión pero de difícil tratamiento. Señalo algunos a continuación:

• Conjetura de Goldbach. "Todo número par mayor que dos se puede expresar como la suma de dos números primos".
• Infinitud de primos gemelos. "Son números primos cuya diferencia es 2".
• Cantidad de primos de la forma. Se pide demostrar su infinitud.  
  

  Pero, por otro lado, encontramos trabajos que por su extraordinaria belleza son dignos de admiración, como es el caso de la demostración de la infinidad de números primos realizado por Euclides y que es el tema central del artículo. En tal sentido escribiré sobre el método que utilizó Euclides y su demostración de la infinidad de números primos.

   En efecto, en primer lugar definiré la Regla de inferencia utilizada por Euclides para demostrar la infinidad números primos, es una regla o método indirecto que establece la factibilidad de derivar una contradicción de un conjunto de premisas y de la negación de la proposición que se quiere probar, entonces se puede derivar dicha proposición únicamente del conjunto de premisas. Este método tiene varios nombres, todos equivalentes, es decir; se conoce como "Regla de reducción al absurdo" o "Prueba por contradicción" o también como "Prueba indirecta".

   El  método o técnica de demostración lo describiremos a continuación de manera general:

1. Se introduce como premisa adicional la negación de la conclusión deseada.
2.  Partiendo de esta premisa, y del conjunto de premisas conocidas, se establece una contradicción.
3. Se afirma la conclusión deseada como consecuencia lógica de las premisas. 

  Quiero agregar algo antes de escribir la demostración y es con respecto a las contradicciones, estas se dan cuando en una conjunción, una misma proposición es verdadera y falsa a la vez.

     Por ejemplo, si P es una proposición para probar con la técnica,  entonces se escribe:

                                                             P  ∧  ∼ P .

    Y, en segundo lugar, expongo la demostración de Euclides, quien afirma: "no hay un número primo máximo y que son, por tanto, infinito".

• ... Supondremos de entrada que sólo hay un número finito de primos; en tal sentido llegaremos a una contradicción.
• Escribamos todos los números primos  2, 3, 5, ..., 151, ... , P, donde P representa el mayor número primo.
• Denotemos por N el resultado del producto de todos ellos, esto es, N=2x3x5x...x151x...xP.
• Consideremos el número (N+1) y veamos si es divisible por 2(sin resto). Es claro que N es divisible por 2, pues es un factor de N. Por tanto, 2 no divide exactamente a (N+1), pues queda un resto de 1. También es claro que N es exactamente divisible por 3, pues este también es uno de sus factores. En consecuencia, 3 no divide exactamente a (N+1), pues también queda un resto de 1. Lo mismo vale para 5, 7, y todos los números primos hasta llegar a P, Todos ellos dividen exactamente a N y por tanto dejan un resto de 1 cuando el dividendo es (N+1).
• ¿Qué significa esto? Como ningún número primo 2, 3, 5, ... , P divide exactamente a (N+1), o bien (N+1) es también primo, que será mayor que P, o bien es divisible por algún número primo mayor que P.
• Como hemos supuesto que P era el mayor número primo llegamos a una contradicción: la existencia de un número primo mayor que el máximo número primo. Por tanto, la suposición de partida de que solo hay un número finito de primos ha de ser falsa. Fin de la demostración.

    Y, con esto termina el artículo de esta semana, dedicado a los fascinantes números primos.