LA SERIE DE CUADRADOS EN EL TRIÁNGULO DE NATURALES IMPARES Y SU ÍNDICE

     Ya anteriormente he escrito de manera general los diferentes números impares con el siguiente símbolo: 

.

     El índice se relaciona con tales números con la igualdad que presento seguidamente: 

la cual, es el término general de la serie 1, 3, 5, 7, 9, ... .

     Por otro lado, se realizó un arreglo que llamamos TNI (Triángulo de naturales impares), como lo índica la siguiente figura:

donde, se dedujo la relación mas simple de los números impares y su índice, esta relación la podemos entender de varias formas, a saber:

• Como una dupla: 

• Utilizando el símbolo "Si - entonces":

• En forma funcional: 

.

     Ahora podemos visualizar una serie, que geométrica-mente en el TNI representa la "altura", se trata se la serie: 1, 9, 25, 49, ... ; o, escrita utilizando el símbolo "fk" , como sigue: 

     La idea es encontrar la relación entre el índice y la primera serie. En efecto; comencemos por la serie que representan a los índices, esta es: 1, 5, 13, 25, . . ., los cuales se pueden escribir como sigue:

     Por tanto;

.

     De igual forma construimos el Término general de la serie:  1, 9, 25, 49, . . .; la cual, está dada por 

     Finalmente escribimos la relación buscada:

     También observando su patrón de formación:

MAS CERCA DE LA PRUEBA ABSOLUTA DE LA CONJETURA FUERTE DE GOLDBACH

     Comenzaré haciendo algunos comentarios sobre "El Triángulo de Naturales Impares (TNI)" que publiqué en un artículo anterior en este mismo Blogger, seguidamente probaré que los números cuyo término general es: 

pueden escribirse como la suma de dos números primos a través de la siguiente igualdad:

     En efecto, en el triángulo de números impares(TNI), están indicados los números impares positivos en orden creciente:

1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .  .

     Escribiremos el primero como  f1 = 1, el segundo f2 = 3, el tercero con f3 = 5, etc., es decir, pongamos la serie así:

     La idea ahora es vincular el conjunto de los números impares con el índice, esto en una sola fórmula, es decir: 

,

para tal fin expresemos como sigue: f1 = 2.1 - 1, el segundo: f2 = 2.2 - 1, el tercero f3 = 2.3 - 1, generalizando para el n-ésimo número impar se tiene la fórmula buscada, la cual podemos probar con el "Método de inducción matemático", esta es:

.

     Por consiguiente, el TNI se visualiza de la siguiente forma:

     En consecuencia, se observan dos series numéricas que tienen las siguientes características:

luego, esto nos permite deducir los términos generales de los índices, los cuales están dados por:

     Por tanto; dichas series la escribimos como sigue:

   En tal sentido, unas de las implicaciones del TNI consiste en la construcción de la fórmula para números cúbicos, publicado en este mismo blogger, la cual tiene la siguiente forma:

donde;  representa los números impares componentes del TNI.

   Finalmente, demostremos a través de la última igualdad el objetivo planteado al comienzo, en efecto:

     Por otro lado, se puede dar el caso que no se obtiene directamente la suma de primos, pero para muchos casos existe un entero que llamaremos "j" que nos permite encontrar la suma deseada sin alterar la igualdad, por lo que la última igualdad la podemos escribir así:

  

con esto terminamos nuestra exposición.

IDEAS SOBRE FORMAS CUADRADAS (k^2+1)

     En una oportunidad leí, "... nadie ha sido capaz de probar hasta ahora que 
haya infinitos primos de la forma

..."; en tal sentido, traté de encontrar una manera que permitiera abordar de forma clara un inicio del estudio de tal expresión. A continuación esto fue lo que encontré:

• Tomé un triángulo rectángulo ABC y comencé a variar uno de los catetos(BC), este procedimiento se puede observar con el cambio de los colores(Triángulos ABD, ABE, ABF, ...) en la siguiente figura:

                                                      

• Para un mejor análisis de la figura anterior, la desglosaremos y en forma conjunta se visualizarán los números naturales que representan, tanto los números cuadrados como los triangulares. Seguiremos el siguiente orden: 1ro. FIGURA, 2do. ▲ "valor natural de triángulo" y 3ro. 🈞 "valor natural del cuadrado" y finalmente ∑ = ▲ + 🈞.

                                                      

• Seguidamente se probarán algunas cosas relativamente importantes: Se trata de la serie  

                                                    
                                 

       esta se obtiene sumando ▲ y  🈞 . En efecto; los cálculos de las áreas de        los diferentes triángulos rectángulos están dados por la siguiente                  fórmula:

       la cual, representa cada cuadrado formado en la hipotenusa, por                    supuesto, para todas la figuras. Por consiguiente se tiene que:

• Es de notar que la primera vez que nos topamos con esta serie fue en un apartado llamado "Triángulo Pitagórico".

          Finalmente invito a participar en este apartado para probar que éxisten infinitos primos de esta forma.