CANTIDAD DE NATURALES ESTRE CUBOS CONSECUTIVOS Y SU TÉRMINO GENERAL

     Ya en una entrega anterior deducimos que la cantidad de números naturales esntre cuadrados consecutivos está dado por 2n. Es hora que nos preguntemos; ¿Qué forma tiene la cantidad de naturales entre cubos consecutivos?, antes daremos la siguiente definición: " Sea X una variable y #X la cantidad de naturales entre cubos consecutivos." 

     En efecto, se trata de la sucesión

                                                   1³, 2³, 3³, 4³, 5³, . . .

y, lo que queremos es calcular de forma general los diferentes valores que toma  X y contarlos entre  n³  y  (n+1)³, además del valor general de su suma.

     Así:

n³ < X < (n+1)³

     Si  n = 1, se tieene la siguiente inecuación,  1 <  X  <  8, cuyo conjunto solución es 

{2, 3, 4, 5, 6, 7},

el cual, llamaremos A1 , donde #X = 6. Utilizaremos la siguiente fórmula para obtener el número de elemento del conjunto, #X = an  -  a1  +  1, como se trata de un conjunto ordenado an es el último elemento y a1 es el primer elemento, asi para el caso del conjunto A1, an = 7 y a1 = 2. 

     Recordemos que sólo nos interesa son los valores de X o soluciones naturales de la inecuación para los diferentes valores que tomará n. 

     Ahora, si  n  =  2, obtenemos la siguiente inecuación  8  <  X  <  27, por tanto el conjunto solución es 

A2 = {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, . . . , 25, 26}, 

donde, #A2  =  26 - 9  +  1  =  18, el cual escribiremos  #A2  =  3  *  6.

     Seguidamente para n  =  3 se tiene la inecuación  27  <  X  <  64  y su conjunto solución es  

A3  = {28, 29, 39, .  .  .  , 62, 63}, 

donde  #A3  =  63 - 28  +  1 = 36 = 6 * 6.

     Hagamos para  n  =  4, y luego generalicemos para ir visualizando la forma que tiene el término general An. Por consiguiente, se tiene la inecuación  64  <  X  <  125 cuyas soluciones están dadas en el conjunto

A4 = {65, 66, 67,  .  .  .  , 124},

donde #A4  = 60, el cual podemos expresar asi:  A4  =  10 * 6, por tanto; ya realizado un análisis con estos resultados, vemos que se trata de patrones conocidos, si lo ordenamos como sigue:

#A1  =  1  *  6

#A2  =  3  *  6

#A3  =  6  *  6

#A4  =  10 * 6 

             *  *  *  *        

     *  *  *  *

          *  *  *  *     

#An  = [n(n+1)÷2]*6.

     Esta última igualdad nos señala la relación entre #An y la cantidad de naturales entre cubos consecutivos, la cual se puede expresar como sigue:

#An = 3n(n+1),

con otras palabras, si contamos los naturales entre cubos consecutivos el resultado es un natural multiplo de 3.

     Acontinuación probaremos que:

     En efecto;

        Por consiguiete;

  

.

CUADRADOS CONSECUTIVOS

     Ahora si, comencemos a redactar el motivo del presente artículo. En efecto; todos conocemos el conjunto N de los números naturales, en el existe un subconjunto propio representado por la siguiente sucesión de naturales:

lo llamaremos B , se trata del conjunto de todos los números cuadrados, es decir:

    A continuación escribiremos algunas observaciones realizadas de la sucesión anterior:

• Varios pares de cuadrados consecutivos son: { 4٨2 , 5٨2 }, { 2٨2 , 3٨2 } y, utilizando la misma idea para generalizar, se tiene: { k٨2 , (k+1)٨2 }, para algún k en N. Si bi es la base de cualquier cuadrado, con i=1,2,3,..., entonces dos cuadrados consecutivos cualesquiera estará representado por el siguiente conjunto:

      de lo contrario, un par de cuadrados cualesquiera estará dado por 

      donde k<j y j≠k+1.

• Si decidimos contar la cantidad de naturales entre cuadrados consecutivos, entonces este crece en forma 2n, es decir; a medida que aumenta n se hace mas grande la distancia entre los cuadrados y si n tiende hacia el infinito, me imagino al cuadrado de lado bk+1 en el infinito.

• Otra consecuencia de la idea anterior es que la cantidad de naturales pares e impares coinciden. Sea #(2k) la cantidad de números naturales pares y #(2k+1) de números impares, por tanto; #(2k) = #(2k+1).

• La diferencia de dos cuadrados consecutivos coincide con la forma general de los números impares. Geométricamente lo que se visualiza es un segmento cuyos extremos son dos cuadrados consecutivos. Por consiguiente, escribimos: 

•  Existen números naturales especiales entre 

        

        con   k Є N ,  cuya  forma  general  tiene  la  siguiente  forma:

.

            Geométricamente  lo  visualizaremos   como  el  centro  entre 

           

.

• Finalmente una consecuencia mas: Para los primeros n cuadrados consecutivos la suma de la cantidad de naturales esta dada por 

          n (n+ 1) ,

       

      puesto que su crecimiento o cantidad de naturarales tiene la forma 2n.                    

ARMONÍA PAR O IMPAR

     Uno de los resultados que me llamó la atención en cierta oportunidad fue cuando observaba la construcción de la siguiente figura:

en ella se visualizan los números pares y los números impares arreglado de una forma particular, donde cada rectángulo compuestos por cuadrados se corresponde armoniosamente con un número par o impar, es decir, si la armonía la representamos con la letra A, entonces existe una relación entre cada rectángulo y un número natural par o impar. Así

ó

Pero, lo que quiero señalar es lo siguiente: llamaremos "p" a cualquier número par de la figura y evaluemos sobre p lo siguiente:

lo ilustraremos con la Tabla 1.

Por otro lado, ya hemos estudiados la igualdad o serie representada por

es decir;

Por tanto, siendo n impar su suma es un cuadrado, así la columna representada por la (p/2) en la Tabla 1 coincide con la columna ( ∑ ) de la Tabla 2.

Finalmente concluimos: "Si p es un número par, entonces (p/2) con exponente 2 es igual a la suma de los n primeros números impares."

A continuación ilustramos este resultado con un ejemplo. Sea p = 22, luego [(22/2)]^2 = 121, por consiguiente:

                           21 + 19 + 17 + 15 + 13 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1
                   
                      =  (21 + 1) + (19 + 3) + (17 + 5) + (15 + 7) + (13 + 9) + 11

                      = 5*22 + 11 

                      = 121


NOTA
"En otra oportunidad escribiré en una propuesta que tal  relación entre pares e impares está muy ligado a la Conjetura fuerte de Goldbach"

IMPARES Y LA CONJETURA DE COLLATZ

            El término general para cualquier natural impar está dado por 2k-1, en tal sentido, se repite el proceso en la  Conjetura de Lothar Collatz sólo con los números impares en forma general. 

              En efecto; 

3(2k-1) + 1

=  6k-3+1          

 =  6k-2.               

              Por tanto; 

,

por consiguiente, en el proceso este resultado representa a la serie o subconjunto de N:

.

             Seguidamente, separamos los números impares de (1) de la siguiente forma:

;

repitiendo el proceso con 6k-1, se tiene:

          Al igual que la serie anterior separamos los números impares, así se tiene:

          Finalmente se concluye que: 

1. En (1) se observa una característica con los dígitos que representan a los diferentes números, seguidamente se describen en la siguiente tabla:

donde; la suma de los dígitos a partir de la segunda fila siempre es la primera fila, es decir:

2        5         8 . 

     

       2.  En la serie  8, 17, 26, 35, 44, 53, . . . , 9k-1; la suma de los dígitos componentes de los números es igual a 8. Por ejemplo, para k = 100, obtenemos el número impar 899 cuya suma de los dígitos es 26, pero 2 + 6 es 8, el cual pertenece a la primera fila.

      3. Generalización del proceso: se toman los términos generales de los diferentes números impares, así se tiene 

 el cual, representa los términos generales cuando aplicamos el desarrollo impar en la Conjetura de Collatz, posteriormente al aplicar el desarrollo par se obtiene

como (2) puede ser par o impar se separan los impares y se tiene:

SERIE DE FÓRMULAS SOBRE CUADRADOS CONSECUTIVOS

     El conjunto de los números naturales es una colección muy interesante, supongamos que contamos la cantidad de elementos que hay entre cuadrados consecutivos, les aseguro que siguen la forma general 2k, es decir; que la cantidad de elementos entre dos cuadrados consecutivos siempre es par.

     Visualicemos la idea del párrafo anterior de la siguiente forma:  

nº de naturales entre

cuadrados consecutivos

                                     1               2                 4

                                     4               4                 9

                                     9               6               16

                                   16               8               25

                                   25             10               36

                                   36             12               49

                                    *               *                 *

                                    *               *                 *

                                    *               *                 *

.

     Señalemos ahora los naturales entre los primeros cuadrados consecutivos de esta forma: p(n) = 2n 

 

figura 1

     Observando la redistribución anterior podemos visualizar varias series conocidas; las cuales escribimos a continuación:

     El hecho de que la cantidad de elementos entre números cuadrados consecutivos sigan un orden par se deduce que hay igual número de pares e impares. Por otro lado, se utilizará el método desarrollado en el artículo, "LA SERIE DE CUADRADOS EN EL TRIÁNGULO DE NATURALES IMPARES Y SU ÍNDICE" , el cual; nos permite enlazar cada número entre cuadrados consecutivos y su posición como se señala en la Figura 1, para ello llamaremos fi, cualquiera de los números, i = 1, 2, 3, ... , esto convierte la Figura 1, en la siguiente:

     Al igual que en la Figura 1, se pueden visualizar las siguientes series en función de fi, en efecto:

     Ahora tomaremos las columnas señaladas con los términos generales en cada una de las dos figuras anteriores arreglada en el siguiente cuadro:

     Finalmente trabajando con todas las columnas obtenemos la siguiente serie de fórmulas:

     Como podemos observar cada fórmula representa una columna de números "Para todo n perteneciente al conjunto N de los números naturales. En conclusión; sea F(n) cualquiera de la fórmulas de la serie, p(n): "La posición que ocupa en la Figura 2", t(n): "Cualquiera de los elementos en la Figura 1", el cual, representa el arreglo original.

     Por tanto; de forma general se tiene:

     Esta forma abstracta define la posición y el natural que se encuentra entre números cuadrados consecutivos.