UN PATRÓN DE LOS NATURALES MULTIPLOS DE 3 EN EL TNI

     Se trata de otra propiedad bastante interesante sobre este Triángulo, el cual; describo a continuación:        
        Dada la siguiente figura:

observemos los naturales que están encerrados en los diferentes círculos de colores, estos aparecen cada tres bases según la siguiente serie(Los colores de los números coinciden con los de los círculos):

3, 6, 9, 12, . . . ,

cada elemento significa la cantidad de naturales múltiplos de 3 cada tres bases consecutivas en TNI, es decir; para λ(2), λ( 3) y λ( 4) tenemos el siguiente conjunto de números múltiplos de tres(3), 

{3, 9, 15 }

lo llamaremos A, por tanto; su cardinal es tres, es decir: #A = 3, así para λ(5), λ( 6) y λ( 7), se tiene otro conjunto que llamaremos B, 

B = {21, 27, 33, 39, 45, 51}

por consiguiente #B = 6. De manera similar , para  λ(8), λ(9) y λ(10), donde 

C = {57, 63, 69, 75, 81, 87, 93, 99, 105 } 

cuya cantidad de elementos está dado por la siguiente igualdad: #C = 9. 

     Seguidamente vamos a generalizar esta idea con la siguiente suma:

de ella nos interesa el Término general que se cumple para todo n mayor o igual a 1, recordemos que λ(1)=1, invito aplicar El Principio de inducción matemático para probarlo. Esta suma representa la suma de tres cubos consecutivos, esto es:

,

lo interesante de esta igualdad es el sumando λ(3n), que coincide con la suma de todos los múltiplos de 3 para cualquier n. Desarrollemos los ejemplos anteriores para aclarar mas esta propiedad. En efecto; para n = 1 se tiene:

.

     Para n = 2, 

     Y, para n = 3,

     En conclusión; el cubo central es la suma de todos los múltiplos de 3, esto se tiene cuando se toman tres bases consecutivas en el TNI.

  

LA SERIE DE CUADRADOS EN EL TRIÁNGULO DE NATURALES IMPARES Y SU ÍNDICE

     Ya anteriormente he escrito de manera general los diferentes números impares con el siguiente símbolo: 

.

     El índice se relaciona con tales números con la igualdad que presento seguidamente: 

la cual, es el término general de la serie 1, 3, 5, 7, 9, ... .

     Por otro lado, se realizó un arreglo que llamamos TNI (Triángulo de naturales impares), como lo índica la siguiente figura:

donde, se dedujo la relación mas simple de los números impares y su índice, esta relación la podemos entender de varias formas, a saber:

• Como una dupla: 

• Utilizando el símbolo "Si - entonces":

• En forma funcional: 

.

     Ahora podemos visualizar una serie, que geométrica-mente en el TNI representa la "altura", se trata se la serie: 1, 9, 25, 49, ... ; o, escrita utilizando el símbolo "fk" , como sigue: 

     La idea es encontrar la relación entre el índice y la primera serie. En efecto; comencemos por la serie que representan a los índices, esta es: 1, 5, 13, 25, . . ., los cuales se pueden escribir como sigue:

     Por tanto;

.

     De igual forma construimos el Término general de la serie:  1, 9, 25, 49, . . .; la cual, está dada por 

     Finalmente escribimos la relación buscada:

     También observando su patrón de formación:

MAS CERCA DE LA PRUEBA ABSOLUTA DE LA CONJETURA FUERTE DE GOLDBACH

     Comenzaré haciendo algunos comentarios sobre "El Triángulo de Naturales Impares (TNI)" que publiqué en un artículo anterior en este mismo Blogger, seguidamente probaré que los números cuyo término general es: 

pueden escribirse como la suma de dos números primos a través de la siguiente igualdad:

     En efecto, en el triángulo de números impares(TNI), están indicados los números impares positivos en orden creciente:

1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .  .

     Escribiremos el primero como  f1 = 1, el segundo f2 = 3, el tercero con f3 = 5, etc., es decir, pongamos la serie así:

     La idea ahora es vincular el conjunto de los números impares con el índice, esto en una sola fórmula, es decir: 

,

para tal fin expresemos como sigue: f1 = 2.1 - 1, el segundo: f2 = 2.2 - 1, el tercero f3 = 2.3 - 1, generalizando para el n-ésimo número impar se tiene la fórmula buscada, la cual podemos probar con el "Método de inducción matemático", esta es:

.

     Por consiguiente, el TNI se visualiza de la siguiente forma:

     En consecuencia, se observan dos series numéricas que tienen las siguientes características:

luego, esto nos permite deducir los términos generales de los índices, los cuales están dados por:

     Por tanto; dichas series la escribimos como sigue:

   En tal sentido, unas de las implicaciones del TNI consiste en la construcción de la fórmula para números cúbicos, publicado en este mismo blogger, la cual tiene la siguiente forma:

donde;  representa los números impares componentes del TNI.

   Finalmente, demostremos a través de la última igualdad el objetivo planteado al comienzo, en efecto:

     Por otro lado, se puede dar el caso que no se obtiene directamente la suma de primos, pero para muchos casos existe un entero que llamaremos "j" que nos permite encontrar la suma deseada sin alterar la igualdad, por lo que la última igualdad la podemos escribir así:

  

con esto terminamos nuestra exposición.

IDEAS SOBRE FORMAS CUADRADAS (k^2+1)

     En una oportunidad leí, "... nadie ha sido capaz de probar hasta ahora que 
haya infinitos primos de la forma

..."; en tal sentido, traté de encontrar una manera que permitiera abordar de forma clara un inicio del estudio de tal expresión. A continuación esto fue lo que encontré:

• Tomé un triángulo rectángulo ABC y comencé a variar uno de los catetos(BC), este procedimiento se puede observar con el cambio de los colores(Triángulos ABD, ABE, ABF, ...) en la siguiente figura:

                                                      

• Para un mejor análisis de la figura anterior, la desglosaremos y en forma conjunta se visualizarán los números naturales que representan, tanto los números cuadrados como los triangulares. Seguiremos el siguiente orden: 1ro. FIGURA, 2do. ▲ "valor natural de triángulo" y 3ro. 🈞 "valor natural del cuadrado" y finalmente ∑ = ▲ + 🈞.

                                                      

• Seguidamente se probarán algunas cosas relativamente importantes: Se trata de la serie  

                                                    
                                 

       esta se obtiene sumando ▲ y  🈞 . En efecto; los cálculos de las áreas de        los diferentes triángulos rectángulos están dados por la siguiente                  fórmula:

       la cual, representa cada cuadrado formado en la hipotenusa, por                    supuesto, para todas la figuras. Por consiguiente se tiene que:

• Es de notar que la primera vez que nos topamos con esta serie fue en un apartado llamado "Triángulo Pitagórico".

          Finalmente invito a participar en este apartado para probar que éxisten infinitos primos de esta forma.

NÚMEROS PRIMOS Y LA DEMOSTRACIÓN INDIRECTA O REDUCCIÓN AL ABSURDO

  Leí en una Enciclopedia un título sobre los números primos que me atrapó la curiosidad al instante, este es: "Números primos: balance de nuestra ignorancia", escrita por Joaquín Navarro. Y, es verdad, los números primos adquieren en su conformación una naturaleza casi divina, criterio de algunos autores que he seguido de cerca, y la consecuencia de esto es por sus innumerables hechos de fácil expresión pero de difícil tratamiento. Señalo algunos a continuación:

• Conjetura de Goldbach. "Todo número par mayor que dos se puede expresar como la suma de dos números primos".
• Infinitud de primos gemelos. "Son números primos cuya diferencia es 2".
• Cantidad de primos de la forma. Se pide demostrar su infinitud.  
  

  Pero, por otro lado, encontramos trabajos que por su extraordinaria belleza son dignos de admiración, como es el caso de la demostración de la infinidad de números primos realizado por Euclides y que es el tema central del artículo. En tal sentido escribiré sobre el método que utilizó Euclides y su demostración de la infinidad de números primos.

   En efecto, en primer lugar definiré la Regla de inferencia utilizada por Euclides para demostrar la infinidad números primos, es una regla o método indirecto que establece la factibilidad de derivar una contradicción de un conjunto de premisas y de la negación de la proposición que se quiere probar, entonces se puede derivar dicha proposición únicamente del conjunto de premisas. Este método tiene varios nombres, todos equivalentes, es decir; se conoce como "Regla de reducción al absurdo" o "Prueba por contradicción" o también como "Prueba indirecta".

   El  método o técnica de demostración lo describiremos a continuación de manera general:

1. Se introduce como premisa adicional la negación de la conclusión deseada.
2.  Partiendo de esta premisa, y del conjunto de premisas conocidas, se establece una contradicción.
3. Se afirma la conclusión deseada como consecuencia lógica de las premisas. 

  Quiero agregar algo antes de escribir la demostración y es con respecto a las contradicciones, estas se dan cuando en una conjunción, una misma proposición es verdadera y falsa a la vez.

     Por ejemplo, si P es una proposición para probar con la técnica,  entonces se escribe:

                                                             P  ∧  ∼ P .

    Y, en segundo lugar, expongo la demostración de Euclides, quien afirma: "no hay un número primo máximo y que son, por tanto, infinito".

• ... Supondremos de entrada que sólo hay un número finito de primos; en tal sentido llegaremos a una contradicción.
• Escribamos todos los números primos  2, 3, 5, ..., 151, ... , P, donde P representa el mayor número primo.
• Denotemos por N el resultado del producto de todos ellos, esto es, N=2x3x5x...x151x...xP.
• Consideremos el número (N+1) y veamos si es divisible por 2(sin resto). Es claro que N es divisible por 2, pues es un factor de N. Por tanto, 2 no divide exactamente a (N+1), pues queda un resto de 1. También es claro que N es exactamente divisible por 3, pues este también es uno de sus factores. En consecuencia, 3 no divide exactamente a (N+1), pues también queda un resto de 1. Lo mismo vale para 5, 7, y todos los números primos hasta llegar a P, Todos ellos dividen exactamente a N y por tanto dejan un resto de 1 cuando el dividendo es (N+1).
• ¿Qué significa esto? Como ningún número primo 2, 3, 5, ... , P divide exactamente a (N+1), o bien (N+1) es también primo, que será mayor que P, o bien es divisible por algún número primo mayor que P.
• Como hemos supuesto que P era el mayor número primo llegamos a una contradicción: la existencia de un número primo mayor que el máximo número primo. Por tanto, la suposición de partida de que solo hay un número finito de primos ha de ser falsa. Fin de la demostración.

    Y, con esto termina el artículo de esta semana, dedicado a los fascinantes números primos.