USO DE LA FÓRMULA CÚBICA λ(n)

     Ya en varios artículos he mencionado por medio del símbolo λ(n) una igualdad que permite obtener los números cúbicos para un natural cualquiera, recordemos en este momento esta expresión, ésta es:

donde n pertenece a N y fi es un número impar. Con esta fórmula expresamos una de las propiedades del "Triángulo de números impares" del cual escribimos en el artículo: "TRIÁNGULO DE NATURALES IMPARES", pero lo que quiero señalar y es el objetivo de este nuevo artículo, es la demostración de la suma de los n primeros pares por medio de los números impares, el cual, está dado por

     En efecto; en primer lugar trataré de ilustrarla con la siguiente figura:

     La figura anterior resume de forma visual los elementos para el inicio de la demostración, estos son: los números impares (2n -1), la sucesión natural {n} y λ(n), por tanto; lo que queremos demostrar es:

Por consiguiente;

     Finalmente, con la propiedad de linealidad de la sumatoria, obtenemos lo que se quiere demostrar: 

FÓRMULA FACTORIAL PARA EL PRODUCTO DE NÚMEROS NATURALES CONSECUTIVOS

     Se trata del artículo: "CANTIDAD DE NÚMEROS NATURALES ENTRE CUBOS CONSECUTIVOS Y SU TÉRMINO GENERAL", en este concluímos que: 

     Esta última igualdad la tomaremos para deducir nuestra fórmula. Así, el producto de tres números naturales consecutivos lo podemos interpretar utilizando la definición de factorial de un número*, a continuación presento la siguiente tabla:

     Llamaremos f(n) al resultado obtenido, por lo tanto, afirmamos que con esta fórmula se calcula o se cuenta la cantidad de números naturales entre cubos consecutivos, es decir:

f(n) = (n+2)! / (n-1)!

     NOTA: *Factorial de n se simbiliza por  n! y significa o se define como:

n! = n.(n-1).(n-2) . . . hasta n factores, o sea,

n! = n.(n-1).(n-2).  . . .  . 3.2.1. 

     A continuación se observa una gráfica de la función obtenida, aclaro que deberíamos tener solamente puntos puesto que n pertenece a N, esta fue realizada con la APP GEOGEBRA.

CANTIDAD DE NATURALES ESTRE CUBOS CONSECUTIVOS Y SU TÉRMINO GENERAL

     Ya en una entrega anterior deducimos que la cantidad de números naturales esntre cuadrados consecutivos está dado por 2n. Es hora que nos preguntemos; ¿Qué forma tiene la cantidad de naturales entre cubos consecutivos?, antes daremos la siguiente definición: " Sea X una variable y #X la cantidad de naturales entre cubos consecutivos." 

     En efecto, se trata de la sucesión

                                                   1³, 2³, 3³, 4³, 5³, . . .

y, lo que queremos es calcular de forma general los diferentes valores que toma  X y contarlos entre  n³  y  (n+1)³, además del valor general de su suma.

     Así:

n³ < X < (n+1)³

     Si  n = 1, se tieene la siguiente inecuación,  1 <  X  <  8, cuyo conjunto solución es 

{2, 3, 4, 5, 6, 7},

el cual, llamaremos A1 , donde #X = 6. Utilizaremos la siguiente fórmula para obtener el número de elemento del conjunto, #X = an  -  a1  +  1, como se trata de un conjunto ordenado an es el último elemento y a1 es el primer elemento, asi para el caso del conjunto A1, an = 7 y a1 = 2. 

     Recordemos que sólo nos interesa son los valores de X o soluciones naturales de la inecuación para los diferentes valores que tomará n. 

     Ahora, si  n  =  2, obtenemos la siguiente inecuación  8  <  X  <  27, por tanto el conjunto solución es 

A2 = {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, . . . , 25, 26}, 

donde, #A2  =  26 - 9  +  1  =  18, el cual escribiremos  #A2  =  3  *  6.

     Seguidamente para n  =  3 se tiene la inecuación  27  <  X  <  64  y su conjunto solución es  

A3  = {28, 29, 39, .  .  .  , 62, 63}, 

donde  #A3  =  63 - 28  +  1 = 36 = 6 * 6.

     Hagamos para  n  =  4, y luego generalicemos para ir visualizando la forma que tiene el término general An. Por consiguiente, se tiene la inecuación  64  <  X  <  125 cuyas soluciones están dadas en el conjunto

A4 = {65, 66, 67,  .  .  .  , 124},

donde #A4  = 60, el cual podemos expresar asi:  A4  =  10 * 6, por tanto; ya realizado un análisis con estos resultados, vemos que se trata de patrones conocidos, si lo ordenamos como sigue:

#A1  =  1  *  6

#A2  =  3  *  6

#A3  =  6  *  6

#A4  =  10 * 6 

             *  *  *  *        

     *  *  *  *

          *  *  *  *     

#An  = [n(n+1)÷2]*6.

     Esta última igualdad nos señala la relación entre #An y la cantidad de naturales entre cubos consecutivos, la cual se puede expresar como sigue:

#An = 3n(n+1),

con otras palabras, si contamos los naturales entre cubos consecutivos el resultado es un natural multiplo de 3.

     Acontinuación probaremos que:

     En efecto;

        Por consiguiete;

  

.

CUADRADOS CONSECUTIVOS

     Ahora si, comencemos a redactar el motivo del presente artículo. En efecto; todos conocemos el conjunto N de los números naturales, en el existe un subconjunto propio representado por la siguiente sucesión de naturales:

lo llamaremos B , se trata del conjunto de todos los números cuadrados, es decir:

    A continuación escribiremos algunas observaciones realizadas de la sucesión anterior:

• Varios pares de cuadrados consecutivos son: { 4٨2 , 5٨2 }, { 2٨2 , 3٨2 } y, utilizando la misma idea para generalizar, se tiene: { k٨2 , (k+1)٨2 }, para algún k en N. Si bi es la base de cualquier cuadrado, con i=1,2,3,..., entonces dos cuadrados consecutivos cualesquiera estará representado por el siguiente conjunto:

      de lo contrario, un par de cuadrados cualesquiera estará dado por 

      donde k<j y j≠k+1.

• Si decidimos contar la cantidad de naturales entre cuadrados consecutivos, entonces este crece en forma 2n, es decir; a medida que aumenta n se hace mas grande la distancia entre los cuadrados y si n tiende hacia el infinito, me imagino al cuadrado de lado bk+1 en el infinito.

• Otra consecuencia de la idea anterior es que la cantidad de naturales pares e impares coinciden. Sea #(2k) la cantidad de números naturales pares y #(2k+1) de números impares, por tanto; #(2k) = #(2k+1).

• La diferencia de dos cuadrados consecutivos coincide con la forma general de los números impares. Geométricamente lo que se visualiza es un segmento cuyos extremos son dos cuadrados consecutivos. Por consiguiente, escribimos: 

•  Existen números naturales especiales entre 

        

        con   k Є N ,  cuya  forma  general  tiene  la  siguiente  forma:

.

            Geométricamente  lo  visualizaremos   como  el  centro  entre 

           

.

• Finalmente una consecuencia mas: Para los primeros n cuadrados consecutivos la suma de la cantidad de naturales esta dada por 

          n (n+ 1) ,

       

      puesto que su crecimiento o cantidad de naturarales tiene la forma 2n.                    

ARMONÍA PAR O IMPAR

     Uno de los resultados que me llamó la atención en cierta oportunidad fue cuando observaba la construcción de la siguiente figura:

en ella se visualizan los números pares y los números impares arreglado de una forma particular, donde cada rectángulo compuestos por cuadrados se corresponde armoniosamente con un número par o impar, es decir, si la armonía la representamos con la letra A, entonces existe una relación entre cada rectángulo y un número natural par o impar. Así

ó

Pero, lo que quiero señalar es lo siguiente: llamaremos "p" a cualquier número par de la figura y evaluemos sobre p lo siguiente:

lo ilustraremos con la Tabla 1.

Por otro lado, ya hemos estudiados la igualdad o serie representada por

es decir;

Por tanto, siendo n impar su suma es un cuadrado, así la columna representada por la (p/2) en la Tabla 1 coincide con la columna ( ∑ ) de la Tabla 2.

Finalmente concluimos: "Si p es un número par, entonces (p/2) con exponente 2 es igual a la suma de los n primeros números impares."

A continuación ilustramos este resultado con un ejemplo. Sea p = 22, luego [(22/2)]^2 = 121, por consiguiente:

                           21 + 19 + 17 + 15 + 13 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1
                   
                      =  (21 + 1) + (19 + 3) + (17 + 5) + (15 + 7) + (13 + 9) + 11

                      = 5*22 + 11 

                      = 121


NOTA
"En otra oportunidad escribiré en una propuesta que tal  relación entre pares e impares está muy ligado a la Conjetura fuerte de Goldbach"